貼り合わせて作る空間：射影直線

この記事の要点

スキーム: 位相空間と、その上の関数の層の組を環付き空間と呼びます。どの点のまわりも $\operatorname{Spec}A$ と同じ形をしている環付き空間が、スキームです。
貼り合わせ: 2つのスキームを、同じ形の開集合どうしで貼り合わせると、新しいスキームができます。層の貼り合わせと同じ考え方です。
射影直線: 2本の直線 $\operatorname{Spec}k[t]$ と $\operatorname{Spec}k[s]$ を $s=1/t$ で貼り合わせたものが射影直線 $\mathbb{P}^1$ です。直線に「無限遠点」を1つ足した空間で、複素数なら球面になります。
Spec では作れない空間: $\mathbb{P}^1$ の上の関数は定数だけなので、 $\mathbb{P}^1$ はどの環の Spec とも同型ではありません。貼り合わせ方を変えると、原点が2つある直線のような空間もできます。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どちらも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

前回の宿題

第3回では、 $\operatorname{Spec}A$ に構造層 $\mathcal{O}$ を載せ、全体の上の関数がもとの環に戻ること（ $\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)\cong A$ ）を見ました。つまり $\operatorname{Spec}A$ は、環 $A$ を知っていれば完全に決まる空間です。

しかし幾何で出てくる空間は、1つの環から作れるものばかりではありません。例えば、直線に「無限遠点」を1つ足した射影直線は、2本の直線を貼り合わせて作ります。層の条件 (4) で局所的な関数を貼り合わせたのと同じように、局所的な空間を貼り合わせて全体を作るわけです。

この記事では、まず「どの点のまわりも $\operatorname{Spec}A$ の形をした空間」としてスキームを定義します。次に、2つのスキームを貼り合わせる方法を説明し、射影直線を作ります。最後に、射影直線の上の関数が定数だけであることを示し、射影直線がどの環の Spec とも違う空間であることを確かめます。

環付き空間とスキーム

環はすべて単位元をもつ可換環とします。まず、空間と関数の層を組にしたものに名前を付けます。

定義1 環付き空間 [1, §II.2 定義, p.99]

位相空間 $X$ と、 $X$ 上の環の層 $\mathcal{O}_X$ の組 $(X,\mathcal{O}_X)$ を環付き空間と呼ぶ。各点 $P\in X$ で茎 $\mathcal{O}_{X,P}$ が局所環であるとき、局所環付き空間と呼ぶ。

$\mathcal{O}_X$ は「 $X$ の上の関数」の層だと考えてください。連続関数の層をもつ実数直線も環付き空間です。

2つの環付き空間が「同じ」であることは、次のように定めます。

定義2 同型

環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ から $(Y,\mathcal{O}_Y)$ への同型とは、同相写像 $f\colon X\to Y$ と、 $Y$ の各開集合 $W$ に対する環の同型

f^\#_W\colon\mathcal{O}_Y(W)\to\mathcal{O}_X(f^{-1}(W))

の組で、制限と両立するもの（ $W'\subseteq W$ なら $f^\#_W(s)|_{f^{-1}(W')}=f^\#_{W'}(s|_{W'})$ ）をいう。

空間を同相写像で重ね、その上の関数の環も同型で重ねるということです。環の写像の向きは空間の写像と逆で、 $Y$ の上の関数を $f$ で引き戻して $X$ の上の関数にします。

「制限と両立する」とは、開集合 $W'\subseteq W$ について次の図式が可換であることです。右上を回っても左下を回っても、同じ元に行き着きます。

\begin{CD} \mathcal{O}_Y(W) @>{f^\#_W}>> \mathcal{O}_X(f^{-1}(W)) \\ @V{\rho_{WW'}}VV @VV{\rho}V \\ \mathcal{O}_Y(W') @>>{f^\#_{W'}}> \mathcal{O}_X(f^{-1}(W')) \end{CD}

縦の矢印 $\rho$ は制限写像です。元 $s\in\mathcal{O}_Y(W)$ で書けば、上の定義の式 $f^\#_W(s)|_{f^{-1}(W')}=f^\#_{W'}(s|_{W'})$ になります。

ハーツホーンは一般の射を順像の層を使って定義していますが、同型（逆向きの射をもつ射）に限ると、この定義と同じことになります[1, p.99–100]。

同型は、茎どうしの同型も引き起こします。芽を次のように引き戻せばよいからです。

\mathcal{O}_{Y,f(P)}\longrightarrow\mathcal{O}_{X,P},\qquad (W,s)\longmapsto\bigl(f^{-1}(W),\,f^\#_W(s)\bigr)

$f(P)\in W$ なら $P\in f^{-1}(W)$ なので、右辺は $P$ での芽です。上の可換図式から、同じ芽を表す $(W,s)$ と $(W',s|_{W'})$ は同じ芽に移るので、この写像は矛盾なく決まります。

命題3 [1, 命題2.3(a), p.100]

環 $A$ について、 $(\operatorname{Spec}A,\mathcal{O})$ は局所環付き空間である。

証明

第3回の定理14(1) から、点 $P$ での茎は局所化 $A_P$ と同型で、 $A_P$ は局所環である。

例4 茎の極大イデアル

(1)　実数直線 $\mathbb{R}$ と連続関数の層 $C$ の組は、局所環付き空間である。点 $a$ での茎 $C_a$ の元は、 $a$ の近くで定義された連続関数 $g$ の芽 $[g]$ である。 $[g]$ が単元であることと $g(a)\neq0$ は同値である（ $g(a)\neq0$ なら、連続性から $a$ の近くで $g\neq0$ で、そこで $1/g$ が連続関数になる）。

よって単元でない元の全体 $M_a=\{\,[g]\mid g(a)=0\,\}$ はイデアルで、 $C_a$ のただ1つの極大イデアルである。

(2)　 $k$ を体、 $a\in k$ とする。 $\operatorname{Spec}k[t]$ の点 $(t-a)$ での茎は

k[t]_{(t-a)}=\Bigl\{\,\frac{p(t)}{q(t)}\Bigm|q(a)\neq0\,\Bigr\}

で、極大イデアルは $p(a)=0$ となる元 $p/q$ の全体である。例えば $a=0$ のとき、 $1/(t-1)$ は単元（逆元 $t-1$ ）で、 $t/(t-1)$ は極大イデアルに入る。

どちらの例でも、茎の元が逆数をもつのは、その点での値が0でないときです。そのため単元でない元の全体は「その点で値が0になる関数」の全体になり、これがただ1つの極大イデアルです。

定義5 スキーム [1, §II.2 定義, p.101]

ある環 $A$ の $(\operatorname{Spec}A,\mathcal{O})$ と同型な局所環付き空間を、アフィンスキームと呼ぶ。局所環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ がスキームであるとは、各点が開近傍 $U$ をもち、 $(U,\mathcal{O}_X|_U)$ がアフィンスキームになることをいう。

$\mathcal{O}_X|_U$ は、 $\mathcal{O}_X$ を $U$ に含まれる開集合だけに制限した層です。

環の Spec はそのままアフィンスキームなので、 $\operatorname{Spec}k[t]$ 、 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 、 $\operatorname{Spec}k$ はどれもアフィンスキームです。 $\operatorname{Spec}k$ は1点 $(0)$ だけの空間で、その点の茎は $k_{(0)}=k$ です。

スキームは「どの点のまわりも、ある環の Spec と同じ形をしている空間」です。多様体が「どの点のまわりも $\mathbb{R}^n$ と同じ形をしている空間」であるのと同じ考え方で、各点のまわりで手本にする形が $\mathbb{R}^n$ から $\operatorname{Spec}A$ に変わっています。

開集合 $D(f)$ も Spec の形をしている

貼り合わせでは、スキームの開集合どうしを重ねます。その前に、 $\operatorname{Spec}A$ の基本的な開集合 $D(f)$ が、それ自身ある環の Spec と同型であることを確かめておきます。

命題6 [1, 演習2.1, p.108]

$A$ を環、 $f\in A$ とする。局所環付き空間 $(D(f),\mathcal{O}|_{D(f)})$ は $\operatorname{Spec}A_f$ と同型である。点の対応は、 $A_f$ の素イデアル $Q$ を $Q\cap A=\{\,a\in A\mid a/1\in Q\,\}$ に送るものである。

一般の環での証明はハーツホーンの演習問題です。ここでは、第3回と同じく $A$ が整域で $f\neq0$ の場合に証明します。

証明

点の対応： $Q\mapsto Q\cap A$ は、 $\operatorname{Spec}A_f$ から「 $f$ を含まない素イデアル全体」 $=D(f)$ への全単射で、逆は $P\mapsto PA_f$ [2, 命題3.11 iv), p.63]。
この全単射は同相写像である。閉集合 $V(S)\cap D(f)$ （ $S\subseteq A$ ）が、 $\operatorname{Spec}A_f$ の閉集合 $V(SA_f)$ にちょうど対応する。
1. $Q\supseteq SA_f\iff Q\cap A\supseteq S$ 。 $S$ の元 $a$ について $a/1\in Q\iff a\in Q\cap A$ だから。
2. $\operatorname{Spec}A_f$ の閉集合はすべてこの形。 $A_f$ の元 $a/f^n$ は $a/1$ と単元 $1/f^n$ の積なので、 $T\subseteq A_f$ について $V(T)=V(S A_f)$ （ $S$ は分子 $a$ の集合）となる。
層の対応：両辺の切断はどちらも $K=\operatorname{Frac}A$ の部分環で、 $Q$ と $P=Q\cap A$ について $(A_f)_Q=A_P$ （ $K$ の中で）が成り立つ。

$(A_f)_Q$ の元は $(a/f^n)/(b/f^m)$ （ $b/f^m\notin Q$ 、つまり $b\notin P$ ）で、これは $af^m/(bf^n)$ に等しい。 $f\notin P$ 、 $b\notin P$ なので $bf^n\notin P$ で、この元は $A_P$ に入る。

逆に $a/s\in A_P$ （ $s\notin P$ ）は $(a/1)/(s/1)$ で、 $s/1\notin Q$ 。
第3回の命題15から、空でない開集合 $W$ の上の切断は $\bigcap_{Q\in W}(A_f)_Q=\bigcap_{P\in W}A_P$ で、両辺で同じ $K$ の部分環になる。恒等写像が制限と両立する同型を与える。

例えば $\operatorname{Spec}k[t]$ から原点 $(t)$ を除いた開集合 $D(t)$ は、 $\operatorname{Spec}k[t,1/t]$ と同型です。 $k[t,1/t]=k[t]_t$ は、 $t$ の負のべきも許した多項式（ローラン多項式）の環です。

k[t,1/t]=\Bigl\{\,\sum_{n=-N}^{N}c_nt^n\Bigm|N\geq0,\ c_n\in k\,\Bigr\}

例えば $2t^{-2}+5+t^3=(2+5t^2+t^5)/t^2$ です。分母が $t$ のべきだけの分数だと考えてもかまいません。

例7 $D(t)\subseteq\operatorname{Spec}k[t]$ と $D(6)\subseteq\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$

(1)　 $k$ を代数閉体とする。 $k[t,1/t]$ の素イデアルは $(0)$ と $(t-a)k[t,1/t]$ （ $a\neq0$ ）で、命題6の対応で次のように移る。

(t-a)k[t,1/t]\ \longmapsto\ (t-a)k[t,1/t]\cap k[t]=(t-a)\qquad(a\neq0).

原点 $(t)$ に当たるものはない。 $t$ は $k[t,1/t]$ の単元なので $(t)k[t,1/t]=k[t,1/t]$ となり、素イデアルにならないからである。

(2)　 $A=\mathbb{Z}$ 、 $f=6$ とする。 $D(6)$ は 6 を含まない素イデアル、つまり $(2),(3)$ 以外の点 $(0),(5),(7),(11),\dots$ からなり、 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[1/6]$ と同型である。例えば

(5)\mathbb{Z}[1/6]\cap\mathbb{Z}=5\mathbb{Z},\qquad (2)\mathbb{Z}[1/6]=\mathbb{Z}[1/6].

$D(6)$ の上の関数 $1/6$ の値は、点 $(5)$ では $\mathbb{F}_5$ の中で $6^{-1}=1$ 、点 $(7)$ では $\mathbb{F}_7$ の中で $6^{-1}=6$ （ $6\cdot6=36\equiv1$ ）である。

証明

(1) の交わりを示す。 $\supseteq$ は明らか。逆に多項式 $p$ が $(t-a)q/t^n$ （ $q\in k[t]$ ）と書けたとすると、 $t^np=(t-a)q$ となる。

$a\neq0$ なので $t-a$ と $t^n$ は共通の因子をもたない。よって $t-a$ は $p$ を割り切り、 $p\in(t-a)$ である。
(2) の1つめの式を示す。 $5a/6^n$ （ $a\in\mathbb{Z}$ ）が整数なら、 $6^n$ は $5a$ を割り切る。 $5$ と $6$ は互いに素なので $6^n$ は $a$ を割り切り、 $5a/6^n\in5\mathbb{Z}$ である。
(2) の2つめの式は、 $2\cdot(3/6)=1$ から $2$ が $\mathbb{Z}[1/6]$ の単元であることによる。

貼り合わせ

2つの空間の一部を同型で重ねて、1つの空間を作ります。

定義8 貼り合わせ [1, 例2.3.5, p.103; 1, 演習2.12, p.109]

$X_1,X_2$ を環付き空間、 $U_1\subseteq X_1$ 、 $U_2\subseteq X_2$ を開集合とし、 $\varphi\colon(U_1,\mathcal{O}_{X_1}|_{U_1})\to(U_2,\mathcal{O}_{X_2}|_{U_2})$ を同型とする。

集合 $X$ は、 $X_1$ と $X_2$ の交わらない和で、 $x\in U_1$ と $\varphi(x)\in U_2$ を同じ点とみなしたもの。 $X_1,X_2$ は $X$ の部分集合とみなす。
$V\subseteq X$ が開集合であるのは、 $V\cap X_1$ と $V\cap X_2$ がそれぞれ開集合であるとき。
$X$ の開集合 $V$ について、 $\mathcal{O}_X(V)$ は、組 $(s_1,s_2)$ （ $s_i\in\mathcal{O}_{X_i}(V\cap X_i)$ ）で、重なりの上で $\varphi^\#(s_2|_{V\cap U_2})=s_1|_{V\cap U_1}$ となるものの全体。

$(X,\mathcal{O}_X)$ を、 $X_1$ と $X_2$ を $\varphi$ で貼り合わせた環付き空間と呼ぶ。

貼り合わせに使うデータは、2つの空間と、その開集合どうしの同型です。

X_1\ \supseteq\ U_1\ \xrightarrow[\ \cong\ ]{\ \varphi\ }\ U_2\ \subseteq\ X_2

関数は逆向きに移ります。 $\varphi^\#$ は $U_2$ 側の関数を $U_1$ 側の関数に引き戻します。

$\mathcal{O}_X(V)$ の元は「 $X_1$ 側の関数と $X_2$ 側の関数の組で、重なりの上で $\varphi$ を通して一致するもの」です。層の条件 (4) で、重なりで一致する切断を貼り合わせたのと同じ形をしています。

図式で書くと、 $\mathcal{O}_X(V)$ は次の四角形の左上に入る環です。 $\rho$ は制限写像、左上から出る矢印は組 $(s_1,s_2)$ を $s_1$ 、 $s_2$ に送る写像です。

\begin{CD} \mathcal{O}_X(V) @>>> \mathcal{O}_{X_2}(V\cap X_2) \\ @VVV @VV{\varphi^\#\circ\rho}V \\ \mathcal{O}_{X_1}(V\cap X_1) @>>{\rho}> \mathcal{O}_{X_1}(V\cap U_1) \end{CD}

$\mathcal{O}_X(V)$ は、左下の環の元 $s_1$ と右上の環の元 $s_2$ の組のうち、右下の環で行き先が一致するものの全体です。

$X$ の中で $U_1$ と $U_2$ は同じ集合なので、 $V\cap U_1$ と $V\cap U_2$ も同じ集合です。 $\varphi^\#$ は $\mathcal{O}_{X_2}(V\cap U_2)$ を $\mathcal{O}_{X_1}(V\cap U_1)$ に移します。

$X_1$ と $X_2$ は $X$ の開集合になり、 $\mathcal{O}_X$ をそこに制限すると、もとの $\mathcal{O}_{X_1}$ 、 $\mathcal{O}_{X_2}$ に戻ります。とくに $X_1,X_2$ がスキームなら、 $X$ のどの点にもアフィンスキームの近傍があるので、 $X$ もスキームです[1, p.103–104]。

$\varphi$ を作るには、環の同型があれば十分です。環の同型 $\alpha\colon B\to A$ は、 $\operatorname{Spec}A$ から $\operatorname{Spec}B$ への同型（点では $P\mapsto\alpha^{-1}(P)$ ）を引き起こします[1, 命題2.3(b), p.100]。整域なら、 $\alpha$ を商体の同型に延ばすと局所化 $B_{\alpha^{-1}(P)}$ が $A_P$ にちょうど移るので、第3回の命題15から層の同型も分かります。

\alpha\colon B\xrightarrow{\ \cong\ }A\qquad\leadsto\qquad \operatorname{Spec}A\xrightarrow{\ \cong\ }\operatorname{Spec}B,\quad P\longmapsto\alpha^{-1}(P)

例9 直線の平行移動

$k$ を体とし、環の同型 $\alpha\colon k[u]\to k[t]$ 、 $u\mapsto t+1$ を考える。逆は $t\mapsto u-1$ である。 $\alpha$ が引き起こす $\operatorname{Spec}k[t]\to\operatorname{Spec}k[u]$ は、点 $a$ を点 $a+1$ に送る。

\alpha^{-1}\bigl((t-a)\bigr)=(u-a-1)\qquad\bigl(\alpha(u-a-1)=t-a\bigr)

関数は $g(u)\mapsto g(t+1)$ と引き戻される。例えば $g=u^2$ なら $\alpha(g)=t^2+2t+1$ で、点 $t=2$ での値 $9$ は、移った先の点 $u=3$ での $g$ の値 $3^2=9$ に等しい。

同型で重ねた2つの空間では、同じ点に別の座標が付きます。この例では、 $t$ の座標で $2$ の点が、 $u$ の座標では $3$ です。次の節の射影直線では、同じように $t$ で $a$ の点が、 $s$ では $1/a$ になります。

射影直線

例10 射影直線 [1, 例2.5.1, p.106]

$k$ を体とする。 $X_1=\operatorname{Spec}k[t]$ 、 $X_2=\operatorname{Spec}k[s]$ とし、開集合 $U_1=D(t)\cong\operatorname{Spec}k[t,1/t]$ 、 $U_2=D(s)\cong\operatorname{Spec}k[s,1/s]$ を、環の同型

k[s,1/s]\to k[t,1/t],\qquad s\mapsto 1/t

が引き起こす同型 $\varphi\colon U_1\to U_2$ で貼り合わせる。こうしてできるスキームを、 $k$ 上の射影直線と呼び、 $\mathbb{P}^1$ と書く。

貼り合わせのデータを図式で書くと、次のようになります。

\operatorname{Spec}k[t]\ \supseteq\ D(t)\ \xrightarrow[\ \cong\ ]{\ \varphi\ }\ D(s)\ \subseteq\ \operatorname{Spec}k[s]

環の写像を $\alpha\colon k[s,1/s]\to k[t,1/t]$ と書くと、 $\alpha$ は $s^n$ を $t^{-n}$ に移します。いくつかの元の行き先を並べます。

\begin{array}{rcl} s & \longmapsto & t^{-1} \\ s^{-1} & \longmapsto & t \\ s^2+3s & \longmapsto & t^{-2}+3t^{-1} \\ 1-s^{-2} & \longmapsto & 1-t^{2} \\ \displaystyle\sum_n c_ns^n & \longmapsto & \displaystyle\sum_n c_nt^{-n} \end{array}

逆向きの写像 $\beta\colon k[t,1/t]\to k[s,1/s]$ は $t\mapsto1/s$ で決まります。 $\beta(\alpha(s))=\beta(t^{-1})=s$ 、 $\alpha(\beta(t))=\alpha(s^{-1})=t$ なので、 $\alpha$ と $\beta$ は互いに逆で、 $\alpha$ は環の同型です。

ハーツホーンは射影空間を次数付き環の Proj として定義していて、 $\mathbb{P}^1$ は $\operatorname{Proj}k[x_0,x_1]$ です。上の貼り合わせで作ったものは、これと同型になります（ $t=x_1/x_0$ 、 $s=x_0/x_1$ ）。Proj は射影空間の回で扱います。

命題11 $\mathbb{P}^1$ の点

$k$ を代数閉体とする。 $\mathbb{P}^1$ の点は、 $X_1$ の閉点 $(t-a)$ （ $a\in k$ ）、 $X_2$ の閉点 $(s)$ 、生成点 $(0)$ からなる。 $X_2$ の閉点 $(s-b)$ （ $b\neq0$ ）は、 $X_1$ の閉点 $(t-1/b)$ と同じ点である。

証明

$\mathbb{P}^1=X_1\cup X_2$ で、 $X_2$ のうち $X_1$ と重ならないのは $X_2\setminus U_2=V(s)=\{(s)\}$ だけ。

$X_2$ の点のうち $U_2=D(s)$ に入るものは、 $\varphi$ で $U_1\subseteq X_1$ の点と同一視されている。 $s$ を含む $k[s]$ の素イデアルは $(s)$ だけ（第2回の例10）。
$X_1$ の点は、第2回の例10のとおり $(t-a)$ （ $a\in k$ ）と $(0)$ 。
$(s-b)$ （ $b\neq0$ ）は、 $s\mapsto1/t$ で $1/t-b=(-b/t)(t-1/b)$ に移り、 $-b/t$ は $k[t,1/t]$ の単元なので、 $k[t,1/t]$ のイデアル $(t-1/b)$ に対応する。生成点 $(0)$ どうしも対応する。

$\varphi$ の点の対応は、 $k[t,1/t]$ の素イデアル $Q$ を、 $k[s,1/s]$ の素イデアル（ $Q$ の逆像）に送るもの。 $Q=(t-1/b)$ の逆像は $s-b$ を含む極大イデアルなので $(s-b)$ で、 $Q=(0)$ の逆像は $(0)$ 。

$X_1$ の閉点 $(t-a)$ を数 $a$ と書けば、 $\mathbb{P}^1$ の閉点は $k$ の元と、それ以外のただ1つの点 $(s)$ からなります。 $t$ の側から見ると $(s)$ は $t=1/s$ が「無限大」になる点なので、無限遠点と呼び、 $\infty$ と書きます。

閉点には、比を使った名前の付け方もあります。0でない $k^2$ の元 $(x_0,x_1)$ を、0でない定数倍の違いを無視して $[x_0:x_1]$ と書き、斉次座標と呼びます。

$a\in k$ を $[1:a]$ 、 $\infty$ を $[0:1]$ に対応させると、 $\mathbb{P}^1$ の閉点は斉次座標 $[x_0:x_1]$ の全体と1対1に対応します。 $x_0\neq0$ の点では $t=x_1/x_0$ 、 $x_1\neq0$ の点では $s=x_0/x_1$ で、両方が使える点では $s=1/t$ です。

[x_0:x_1]\longmapsto\begin{cases} t=\dfrac{x_1}{x_0} & (x_0\neq0)\\[2ex] s=\dfrac{x_0}{x_1} & (x_1\neq0)\end{cases}\qquad x_0x_1\neq0\ \Longrightarrow\ s=\frac{x_0}{x_1}=\frac{1}{x_1/x_0}=\frac1t

比をとるので、定数倍しても $t$ と $s$ は変わりません。例えば $(2,6)=2\cdot(1,3)$ なので、

[2:6]=[1:3],\qquad t=\frac{6}{2}=\frac{3}{1}=3,\qquad s=\frac{2}{6}=\frac13=\frac1t

です。同じ点 $[1:3]$ を $k=\mathbb{F}_7$ で考えると $s=3^{-1}=5$ で、確かに $st=15\equiv1\pmod 7$ です。

$[x_0:x_1]$ は、 $k^2$ の原点を通る直線（ $(x_0,x_1)$ の定数倍の全体）と同じものです。 $\mathbb{P}^1$ の閉点は「原点を通る直線」だと考えられます。

図1具体例

k=\mathbb{R}

として、原点を通る直線を描いています。各直線と縦の線

x_0=1

との交点の高さが

t=x_1/x_0

、横の線

x_1=1

との交点の横の位置が

s=x_0/x_1

です。両方の線と交わる直線では

s=1/t

です。縦の直線（オレンジ）は

x_0=1

と平行なので

t

の値がなく、これが無限遠点

\infty

（

s=0

）です。横の直線（緑）は

s

の値がなく、点

t=0

に当たります。

$k=\mathbb{C}$ のときは、 $\mathbb{P}^1$ の閉点を球面の点として描けます。複素平面（ $t$ の地図）に無限遠点を1つ足すと、平面の端がすべて1点に集まって閉じ、球面になります。これをリーマン球面と呼びます。

ドラッグで回せます

球面の点 $p$ と北極 $N$ を結ぶ直線が、赤道面と交わる点を $t$ とします（ $t$ は赤道面を複素平面とみた複素数）。北極以外の点は、ちょうど1つの $t$ に対応します。「真上」から見ると、赤道面の座標がそのまま $t$ です。

今度は南極 $S$ から同じ点 $p$ を射影します。交点の座標を下から読んだ値（「真下」から見た座標）を $s$ とすると、どの点でも $st=1$ が成り立ちます。南極以外の点は、ちょうど1つの $s$ に対応します。

南極は $t=0$ 、北極は $s=0$ です。北極には $t$ の値がなく、 $t$ の地図から見ると「無限遠点」です。

両極以外の点は、 $t$ と $s$ の両方の地図に載り、 $s=1/t$ で読み替えられます。これが $\mathbb{P}^1$ を作るときの貼り合わせ $s\mapsto1/t$ です。2枚の平面（ $t$ の地図と $s$ の地図）を貼り合わせると、球面になります。

図2具体例

\mathbb{P}^1

の複素数の点をリーマン球面として描いた図です。北極

N

からの射影で

t

を、南極

S

からの射影で

s

を読みます。球面の点

(x,y,z)

では

t=(x+iy)/(1-z)

、

s=(x-iy)/(1+z)

で、

st=1

です（図を作るプログラムで、球面上の点について検算しています）。球面は曲面なので、立体で描いています。「真上」から見ると赤道面の座標が

t

、「真下」から見ると

s

になり、回すと2枚の地図が入れ替わります。

もう少し詳しくなぜ南極からの射影は下から読むのか

南極から点 $p=(x,y,z)$ を射影した交点を、赤道面の普通の座標で読むと $w=(x+iy)/(1+z)$ で、 $w=1/\bar t$ になります（ $\bar t$ は $t$ の複素共役）。

下から見ると平面が裏返るので、座標は複素共役 $\bar w=1/t$ に変わります。これを $s$ とすると $s=1/t$ で、貼り合わせの式とぴったり合います。

複素共役が出てくるのは、北極側と南極側で平面を見る向きが逆だからです。

例12 $\mathbb{P}^1$ の複素数の点

$k=\mathbb{C}$ とする。点 $t\in\mathbb{C}$ に対応する球面の点は、北極からの射影を逆にたどって

t=u+iv\ \longmapsto\ (x,y,z)=\Bigl(\frac{2u}{|t|^2+1},\ \frac{2v}{|t|^2+1},\ \frac{|t|^2-1}{|t|^2+1}\Bigr)

で求まる。いくつかの点で、斉次座標、2つの座標 $t,s$ 、球面の点を並べると次のようになる（「なし」はその座標が使えないことを表す）。

点	斉次座標	$t$	$s$	球面の点
$0$	$[1:0]$	$0$	なし	$(0,0,-1)=S$
$1$	$[1:1]$	$1$	$1$	$(1,0,0)$
$-1$	$[1:-1]$	$-1$	$-1$	$(-1,0,0)$
$i$	$[1:i]$	$i$	$-i$	$(0,1,0)$
$3$	$[2:6]=[1:3]$	$3$	$1/3$	$(3/5,0,4/5)$
$1+i$	$[1:1+i]$	$1+i$	$(1-i)/2$	$(2/3,2/3,1/3)$
$\infty$	$[0:1]$	なし	$0$	$(0,0,1)=N$

両方の座標がある行では $st=1$ である（例えば $i\cdot(-i)=1$ 、 $(1+i)(1-i)/2=1$ ）。

図2の式でも確かめられます。点 $i$ に当たる $(0,1,0)$ では $t=(0+i)/(1-0)=i$ 、 $s=(0-i)/(1+0)=-i$ です。

表の $0$ と $\infty$ は南極と北極で、 $t$ の地図では北極だけが、 $s$ の地図では南極だけが描けません。絶対値1の $t$ （ $1,-1,i$ ）は赤道に乗り、そこでは $s=1/t=\bar t$ です。

命題11は代数閉体を仮定していました。代数閉体でない体では、 $X_1$ の閉点に2次以上の既約多項式の点が加わります。

例13 代数閉体でない体の上の $\mathbb{P}^1$

$k$ を体とする。 $X_1=\operatorname{Spec}k[t]$ の閉点は、最高次の係数が1の既約多項式 $h(t)$ が生成する $(h)$ である。 $h\neq t$ なら、 $d=\deg h$ として

h^*(s)=s^d\,h(1/s)

とおくと、点 $(h)$ は $X_2$ の点 $(h^*)$ と同じ点である。 $\mathbb{P}^1$ の点は、 $X_1$ の点と無限遠点 $\infty=(s)$ からなる。

(1)　 $k=\mathbb{R}$ 。 $(t^2+1)$ は $\mathbb{R}$ 上の1点で、 $s$ の側では $(s^2+1)$ になる。 $(t^2-2t+2)$ は $(2s^2-2s+1)$ になる。イデアルは定数倍で変わらないので、 $(s^2-s+\tfrac12)$ と書いても同じ点である。

s^2\bigl((1/s)^2+1\bigr)=1+s^2,\qquad s^2\bigl((1/s)^2-2/s+2\bigr)=1-2s+2s^2

複素数で見ると、 $t^2-2t+2=(t-1-i)(t-1+i)$ なので、この点は $t=1\pm i$ の2点をまとめたものである。 $s$ の側の根 $(1\mp i)/2$ は $1/(1\pm i)$ に等しい。

(2)　 $k=\mathbb{F}_p$ 。1次式の点 $t=a$ （ $a\in\mathbb{F}_p$ ）が $p$ 個と $\infty$ で、合わせて $p+1$ 個の点が斉次座標 $[1:a]$ 、 $[0:1]$ で書ける。斉次座標を直接数えても同じ数になる。

\frac{\#(\mathbb{F}_p^2\setminus\{0\})}{\#\mathbb{F}_p^\times}=\frac{p^2-1}{p-1}=p+1

$p=2,3,5,7$ なら $3,4,6,8$ 個である。例えば $\mathbb{F}_2$ では $[1:0],[1:1],[0:1]$ の3点で、 $t=0,1,\infty$ に当たる。

ほかに2次の既約多項式の点が $(p^2-p)/2$ 個ある。例えば $\mathbb{F}_3$ では $t^2+1,\ t^2+t+2,\ t^2+2t+2$ の3つで、 $s$ の側ではそれぞれ $s^2+1,\ s^2+2s+2,\ s^2+s+2$ になる（係数を $\mathbb{F}_3$ で計算し、最高次の係数を1にそろえた）。

証明

$h$ は既約で $h\neq t$ なので $h(0)\neq0$ 。よって $h^*$ も次数 $d$ で、 $h^*(0)$ は $h$ の最高次の係数 $1$ である。
$\alpha(h^*(s))=t^{-d}h(t)$ で、 $t^{-d}$ は $k[t,1/t]$ の単元である。よって $h^*$ は $\varphi$ の点の対応で $(h)k[t,1/t]$ の逆像に入る。
$h^*$ は既約である。 $h^*=g_1g_2$ と分解すると、同じ操作 $g\mapsto s^{\deg g}g(1/s)$ で $h$ も分解するからである。

$h^*(0)\neq0$ なので $g_1(0)\neq0$ 、 $g_2(0)\neq0$ で、 $g_1^*,g_2^*$ の次数は $g_1,g_2$ と同じ。 $t^dh^*(1/t)=h(t)$ から $h=g_1^*g_2^*$ となり、 $h$ の既約性に反する。
逆像は $h^*$ を含む0でない素イデアルなので、 $(h^*)k[s,1/s]$ に等しい。 $X_2$ の点としては $(h^*)$ である。

$k[s,1/s]$ の0でない素イデアルは、 $s$ 以外の既約多項式 $q$ で $(q)k[s,1/s]$ と書ける（命題6の対応）。これが $h^*$ を含むなら $q$ は $h^*$ を割り切り、 $h^*$ が既約なので $q$ は $h^*$ の定数倍である。
$X_1$ の外の点は無限遠点 $(s)$ だけなので、2次の既約多項式の点はすべて $X_1$ の点 $(h)$ で、 $\mathbb{F}_p$ 上の最高次の係数が1の2次既約多項式の個数 $(p^2-p)/2$ だけある。

最高次の係数が1の2次式は $p^2$ 個。そのうち可約なのは $(t-a)(t-b)$ の形で、 $a\neq b$ が $p(p-1)/2$ 個、 $a=b$ が $p$ 個。よって既約なものは $p^2-p(p-1)/2-p=(p^2-p)/2$ 個（ $p=2,3,5,7$ で $1,3,10,21$ 個。計算機で数えて確かめた）。

実数の点だけを描くと、 $(t^2+1)$ のような点は見えません。図1の直線の図に現れるのは、斉次座標で書ける点（1次式の点と $\infty$ ）だけです。

射影直線の上の関数は定数だけ

$\mathbb{P}^1$ 全体の上の関数を求めます。

定理14

$k$ を体とする。 $\mathcal{O}(\mathbb{P}^1)=k$ （定数だけ）である。とくに $\mathbb{P}^1$ はアフィンスキームではない。

証明

貼り合わせの定義と第3回の系16から、 $\mathcal{O}(\mathbb{P}^1)$ は、組 $(f,g)\in k[t]\times k[s]$ で、 $k[t,1/t]$ の中で $g(1/t)=f(t)$ となるものの全体。

$\mathcal{O}(X_1)=k[t]$ 、 $\mathcal{O}(X_2)=k[s]$ （第3回の系16(2)）。重なりへの制限は $k[t]\subseteq k[t,1/t]$ 、 $k[s]\subseteq k[s,1/s]$ の包含で、 $\varphi^\#$ は $s\mapsto1/t$ なので、条件は $g(1/t)=f(t)$ になる。
$k[t,1/t]$ は $t^n$ （ $n\in\mathbb{Z}$ ）を基底とするベクトル空間である。 $f(t)$ は $n\geq0$ の $t^n$ だけ、 $g(1/t)$ は $n\leq0$ の $t^n$ だけで書けるので、等しければ $n=0$ の項しか残らず、 $f=g=c\in k$ 。
アフィンでないことを示す。 $\mathbb{P}^1\cong\operatorname{Spec}A$ なら、 $A\cong\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)\cong\mathcal{O}(\mathbb{P}^1)=k$ なので、 $\mathbb{P}^1$ は $\operatorname{Spec}k$ （1点）と同相になる。しかし $\mathbb{P}^1$ には異なる2点 $(t)\in X_1$ と $(s)\in X_2\setminus U_2$ がある。

同型は環の同型 $\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)\to\mathcal{O}(\mathbb{P}^1)$ を含み、第3回の定理14(3) より $\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)\cong A$ 。

証明の1つめのステップを図式で書くと、定義8の四角形で $V=\mathbb{P}^1$ としたものになります。

\begin{CD} \mathcal{O}(\mathbb{P}^1) @>>> k[s] \\ @VVV @VV{s\mapsto1/t}V \\ k[t] @>{\subseteq}>> k[t,1/t] \end{CD}

右と下の矢印はどちらも単射なので、 $\mathcal{O}(\mathbb{P}^1)$ は $k[t,1/t]$ の中の2つの部分環の共通部分です。2つめのステップは、それを係数で比べて求めています。

\mathcal{O}(\mathbb{P}^1)=k[t]\cap k[1/t],\qquad k[t]=\Bigl\{\sum_{n\geq0}c_nt^n\Bigr\},\quad k[1/t]=\Bigl\{\sum_{n\leq0}c_nt^n\Bigr\},\quad k[t]\cap k[1/t]=k

例えば $f=1+t^2$ を $s$ の側から見ると $1+s^{-2}$ で、 $k[s]$ に入りません。逆に $g=s^2+3s$ は $t$ の側では $t^{-2}+3t^{-1}$ で、 $k[t]$ に入りません。

図3概念図証明の2つめのステップ。

k[t,1/t]

の基底

t^n

を並べると、

t

の側の関数

k[t]

（青）は右半分、

s

の側の関数

k[1/t]

（緑）は左半分を使います。両方で書ける関数は、真ん中の定数

1

の倍だけです。

直線 $\operatorname{Spec}k[t]$ の上には $t,t^2,\dots$ と関数がたくさんありました。無限遠点を1つ足しただけで、関数は定数しか残りません。 $t$ は無限遠点で「無限大」になってしまい、無限遠点まで延ばせないからです。

$\mathbb{P}^1$ は、関数の環からは復元できない空間です。この点で、 $\operatorname{Spec}A$ （全体の関数から $A$ が戻る）とはまったく違います。

全体では定数しか残りませんが、1点を除くと定数でない関数が現れます。開集合ごとに関数の環を並べてみます。

例15 $\mathbb{P}^1$ の開集合の上の関数

$k$ を体とする。 $X_1,X_2$ は $\mathbb{P}^1$ の開集合で、 $\mathcal{O}$ を制限するともとの構造層に戻るので、次のようになる。

\begin{array}{lll} \mathbb{P}^1\setminus\{\infty\}=X_1, & \mathcal{O}=k[t], & t,\ t^2+1,\ \dots \\ \mathbb{P}^1\setminus\{0\}=X_2, & \mathcal{O}=k[s]=k[1/t], & 1/t,\ 1+3/t^2,\ \dots \\ \mathbb{P}^1\setminus\{0,\infty\}=U_1, & \mathcal{O}=k[t,1/t], & t+1/t,\ \dots \\ \mathbb{P}^1, & \mathcal{O}=k, & c\ \ (c\in k) \end{array}

関数 $t$ は $X_1$ の上の関数だが、 $s$ の側で書くと $t=1/s\notin k[s]$ なので、 $\infty$ まで延びない。一方で

\frac{1}{t-1}=\frac{1}{1/s-1}=\frac{s}{1-s}

は $s=0$ でも分母が0にならず、 $\infty$ での値は $0$ である。この関数は、点 $1$ を除いた $\mathbb{P}^1\setminus\{1\}$ の上の関数になる。

証明

$X_1$ を除いた残りは $\infty$ だけで、 $X_2$ を除いた残りは $X_1$ の原点 $(t)$ だけ。 $U_1$ は $X_1$ から原点を除いたもので、関数の環は命題6より $k[t]_t=k[t,1/t]$ 。
$1/(t-1)$ について。 $V=\mathbb{P}^1\setminus\{1\}$ とすると $V\cap X_1=D(t-1)$ 、 $V\cap X_2=D(s-1)$ で、組 $\bigl(1/(t-1),\,s/(1-s)\bigr)$ は定義8の条件をみたす。

$1/(t-1)\in k[t]_{t-1}=\mathcal{O}(D(t-1))$ 、 $s/(1-s)\in k[s]_{s-1}=\mathcal{O}(D(s-1))$ （第3回の系16(1)）。 $\alpha(s/(1-s))=(1/t)/(1-1/t)=1/(t-1)$ なので、重なりの上で一致する。

数で確かめると、点 $t=3$ （ $s=1/3$ ）で、 $1/(3-1)=1/2$ 、 $(1/3)/(1-1/3)=1/2$ と同じ値になる。

$t$ と $1/(t-1)$ の違いは、分子と分母の次数にあります。 $t$ は分子のほうが次数が高く、 $1/(t-1)$ は分母のほうが高くなっています。次数を比べれば無限遠点で正則かどうかが分かることを、次の例で確かめます。

例16 無限遠点で正則な有理関数

$k$ を体とし、 $s=1/t$ で $k(s)=k(t)$ とみなす。無限遠点 $\infty=(s)$ での茎は $k[s]_{(s)}$ である。0でない多項式 $p,q\in k[t]$ について、

\frac{p(t)}{q(t)}\in k[s]_{(s)}\iff\deg p\leq\deg q

が成り立つ。このとき $\infty$ での値（ $s=0$ を代入した値）は、 $\deg p<\deg q$ なら $0$ 、 $\deg p=\deg q$ なら最高次の係数の比である。例えば次のようになる（矢印の先は $\infty$ での値）。

t\notin k[s]_{(s)},\qquad \frac{1}{t-1}\mapsto0,\qquad \frac{t}{t-1}\mapsto1,\qquad \frac{2t^2+1}{t^2+3}=\frac{2+s^2}{1+3s^2}\mapsto2

証明

$\infty$ は $X_2$ の点 $(s)$ なので、茎は $X_2$ の茎 $k[s]_{(s)}$ である（第3回の系16(3)）。
$d=\deg p$ 、 $e=\deg q$ とし、 $p^*(s)=s^dp(1/s)$ 、 $q^*(s)=s^eq(1/s)$ とおく。 $p^*(0)$ 、 $q^*(0)$ は最高次の係数で0でなく、次のように書ける。
$\frac{p(t)}{q(t)}=\frac{p(1/s)}{q(1/s)}=\frac{s^{-d}p^*(s)}{s^{-e}q^*(s)}=s^{e-d}\,\frac{p^*(s)}{q^*(s)}$
$p^*/q^*$ は $k[s]_{(s)}$ の単元なので、 $p/q\in k[s]_{(s)}$ と $e-d\geq0$ は同値である。

$e-d\geq0$ なら $s^{e-d}\in k[s]$ なので入る。 $e-d<0$ のときは、 $s^{-1}\notin k[s]_{(s)}$ から入らない。実際、 $1/s=a/b$ （ $b(0)\neq0$ ）なら $b=as$ で $b(0)=0$ となり矛盾する。
値は $s=0$ を代入して求まる。 $e>d$ なら $s^{e-d}$ の因子で $0$ 、 $e=d$ なら $p^*(0)/q^*(0)$ で、最高次の係数の比である。

この例から、定理14をもう一度確かめられます。 $\mathbb{P}^1$ 全体の上の関数は $X_1$ の上の関数なので多項式 $p(t)$ で、 $\infty$ でも正則なので、上の例で $q=1$ として $\deg p\leq0$ 、つまり定数です。

もう少し詳しく複素関数論のリウヴィルの定理との関係

複素数で考えると、リーマン球面はコンパクトです。コンパクトな複素多様体の全体で正則な関数は定数だけで、これは「有界な整関数は定数」というリウヴィルの定理と同じ現象です。

$\mathcal{O}(\mathbb{P}^1)=k$ は、その代数版だと言えます。代数の証明では、コンパクト性の代わりに「 $t$ の正のべきと負のべきが両立しない」ことを使いました。

原点が2つある直線

同じ2本の直線でも、貼り合わせ方を変えると別の空間ができます。

例17 原点が2つある直線 [1, 例2.3.6, p.104]

$k$ を体とする。 $X_1=\operatorname{Spec}k[t]$ 、 $X_2=\operatorname{Spec}k[u]$ を、開集合 $D(t)$ と $D(u)$ で、環の同型 $k[u,1/u]\to k[t,1/t]$ 、 $u\mapsto t$ が引き起こす同型で貼り合わせる。できたスキーム $X$ では、2つの原点 $O_1=(t)\in X_1$ と $O_2=(u)\in X_2$ は別の点であり、 $\mathcal{O}(X)\cong k[t]$ である。

証明

$O_1\notin D(t)$ 、 $O_2\notin D(u)$ なので、どちらも同一視されず、別の点として残る。
$\mathcal{O}(X)$ は、組 $(f,g)\in k[t]\times k[u]$ で $k[t,1/t]$ の中で $g(t)=f(t)$ となるもの。 $k[t]\to k[t,1/t]$ は単射なので $g=f$ で、 $\mathcal{O}(X)\cong k[t]$ 。

定理14の図式と並べると、違いは右の縦の矢印だけです。

\begin{CD} \mathcal{O}(\mathbb{P}^1) @>>> k[s] \\ @VVV @VV{s\mapsto1/t}V \\ k[t] @>{\subseteq}>> k[t,1/t] \end{CD} \qquad\qquad \begin{CD} \mathcal{O}(X) @>>> k[u] \\ @VVV @VV{u\mapsto t}V \\ k[t] @>{\subseteq}>> k[t,1/t] \end{CD}

$k[t,1/t]$ の中の共通部分で書くと、次のようになります。

\mathcal{O}(\mathbb{P}^1)=k[t]\cap k[1/t]=k,\qquad \mathcal{O}(X)=k[t]\cap k[t]=k[t]

$s=1/t$ で貼ると、図3の右半分と左半分の共通部分なので、定数だけが残ります。 $u=t$ で貼ると、同じ部分環どうしなので何も失われません。

図4概念図2本の直線

X_1

（青）と

X_2

（緑）を、原点以外の点で同一視しています。下の

X

が貼り合わせた空間で、原点だけが

O_1

と

O_2

の2つに分かれています。図は実数の点だけを描いた模式図です。

$\mathcal{O}(X)\cong k[t]$ は直線 $\operatorname{Spec}k[t]$ の関数の環と同じです。しかし $X$ はアフィンスキームではありません。関数の環が同じでも、空間が違います。

命題18

原点が2つある直線 $X$ はアフィンスキームではない。

証明

局所環付き空間 $Y$ の点 $P$ について、 $m(P)$ を「 $P$ での芽が茎の極大イデアルに入る $\mathcal{O}(Y)$ の元」の集合とする。同型はこの $m$ を保つ。

同型 $Y\cong Y'$ は、全体の関数の環の同型と、各点の茎の同型を与え、両者は芽をとる操作と両立する。茎の同型は環の同型なので、ただ1つの極大イデアルを、ただ1つの極大イデアルに移す。
$Y=\operatorname{Spec}A$ では $m(P)=P$ 。よって異なる点は異なる $m(P)$ をもつ。

茎 $A_P$ の極大イデアルは $PA_P$ である。 $a\in P$ なら $a/1\in PA_P$ 。

逆に $a/1=b/s$ （ $b\in P$ 、 $s\notin P$ ）なら、ある $u\notin P$ で $u(as-b)=0$ となり、 $uas=ub\in P$ 。 $u,s\notin P$ で $P$ は素イデアルなので $a\in P$ 。
$X$ では $m(O_1)=m(O_2)$ 。どちらも $\mathcal{O}(X)=k[t]$ のうち原点で値が0になる元の全体、つまり $(t)$ である。よって $X$ は Spec と同型になりえない。

$O_1$ の茎は $X_1$ の茎 $k[t]_{(t)}$ で、全体の関数 $(f,f)$ の芽は $f/1$ 。これが極大イデアルに入るのは $f\in(t)$ のとき（前のステップ）。 $O_2$ でも同じ計算で $f\in(u)$ 、つまり $f(0)=0$ 。

Spec の空間では、異なる2つの閉点は、片方で0になり他方で0にならない関数で区別できます。原点が2つある直線では、どの関数も2つの原点で同じ値をとるので、関数で区別できません。

\operatorname{Spec}k[t]:\ m\bigl((t)\bigr)=(t)\neq(t-1)=m\bigl((t-1)\bigr),\qquad X:\ m(O_1)=(t)=m(O_2)

例えば関数 $t$ は、点 $1$ で値 $1$ 、原点で値 $0$ をとるので、直線の2点 $0$ と $1$ を区別します。 $X$ の上の関数 $t$ は、 $O_1$ でも $O_2$ でも値 $0$ で、2つの原点を区別できません。

専門的な話分離的なスキーム

位相空間で「2つの点が交わらない近傍で分けられる」性質をハウスドルフ空間と言います。原点が2つある直線は、普通の位相で考えれば典型的なハウスドルフでない空間です。

しかしザリスキー位相では、整域の Spec の空でない開集合はどれも生成点を含んで交わるので、直線 $\operatorname{Spec}k[t]$ 自身もハウスドルフではありません。ハウスドルフかどうかでは、直線と原点が2つある直線を区別できないのです。

そこでスキームでは、ハウスドルフの代わりに分離的という条件を使います。ハーツホーンは、原点が2つある直線を分離的でないスキームの例として挙げ、定義は §II.4 で与えています[1, p.104]。

射影直線は分離的で、さらに「コンパクト」に当たる性質（固有）ももっています。

まとめ：空間と全体の関数

空間	作り方	全体の関数	アフィンか
直線 $\operatorname{Spec}k[t]$	環 $k[t]$ の Spec	$k[t]$	アフィン
原点を除いた直線 $D(t)$	直線の開集合	$k[t,1/t]$	アフィン（ $\operatorname{Spec}k[t,1/t]$ ）
射影直線 $\mathbb{P}^1$	2本の直線を $s=1/t$ で貼る	$k$	アフィンでない
原点が2つある直線	2本の直線を $u=t$ で貼る	$k[t]$	アフィンでない

同じ2本の直線から、貼り合わせ方の違いで、まったく違う空間ができました。 $s=1/t$ で貼ると無限遠点が1つ増えて閉じた空間になり、 $u=t$ で貼ると原点が分かれます。どちらも、1つの環の Spec では作れない空間です。

次回：射影平面と無限遠で交わる平行線

同じ考え方で、平面に無限遠の点を足した射影平面 $\mathbb{P}^2$ が作れます。今度は3枚の平面を貼り合わせ、点は斉次座標 $[x_0:x_1:x_2]$ で表されます。射影平面では、平行な2直線も無限遠で必ず1点で交わります。

次回は、射影空間を次数付き環から作る方法（Proj）と合わせて、曲線を無限遠まで含めて見ます。

第3回の定理14

$A$ を環とする。

(1)　各点 $P\in\operatorname{Spec}A$ で、茎 $\mathcal{O}_P$ は局所化 $A_P$ と同型である。
(2)　各 $f\in A$ について、 $\mathcal{O}(D(f))$ は $A_f$ と同型である。
(3)　とくに $\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)\cong A$ 。

第3回の命題15 整域の場合

$A$ を整域、 $K=\operatorname{Frac}A$ とし、 $U$ を空でない開集合とする。切断 $s\in\mathcal{O}(U)$ は、すべての点で同じ $K$ の元をとる。この元を対応させると、

\mathcal{O}(U)\cong\bigcap_{P\in U}A_P

（右辺は $K$ の中の共通部分）となり、制限写像は共通部分どうしの包含になる。

第2回の例10 $\operatorname{Spec}k[x]$

$k$ を代数閉体とする。 $\operatorname{Spec}k[x]=\{(0)\}\cup\{(x-a)\mid a\in k\}$ 。閉点 $(x-a)$ は $k$ の元 $a$ と1対1に対応し、 $(0)$ は全体の生成点である。閉集合は、閉点の有限集合と、全体だけである。

第3回の系16 定理14の整域の場合

$A$ を整域とする。 $K$ の中で、次が成り立つ。

(1)　 $f\neq0$ なら $\mathcal{O}(D(f))=A_f$ 。
(2)　 $\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)=A$ 。
(3)　 $\mathcal{O}_P=A_P$ 。

極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル $P$ での局所化 $A_P$ （極大イデアルは $a/s$ （ $a\in P$ ）の全体）、 $k[x]/(x^2)$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。

位相空間の間の全単射 $f$ で、 $f$ も逆写像も連続なもの。開集合を開集合にちょうど移すので、位相空間として同じものとみなせる。

位相空間 $X$ のどんな開被覆からも、有限個を選んで $X$ を覆えること。 $\mathbb{R}^n$ の部分集合では、有界な閉集合であることと同値。例：球面はコンパクト、平面はコンパクトでない。

異なる2点が、交わらない開近傍で必ず分けられる位相空間。 $\mathbb{R}^n$ はハウスドルフ空間。ザリスキー位相の空間は、ふつうハウスドルフ空間ではない。

どの点のまわりも、ある環 $A$ の $\operatorname{Spec}A$ （素イデアル全体に位相と構造層を載せた空間）と同じ形をしている空間。 $\operatorname{Spec}A$ を貼り合わせて作れる。零点集合では区別できない $x=0$ と $x^2=0$ の違いも扱える。連載第4回で定義している。

掛けて1になる相手（逆元）をもつ環の元。例： $\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ 、体では0以外のすべての元。

0 でない元どうしの積が0にならない可換環（ $ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ ）。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環。 $A/P$ が整域であることと、 $P$ が素イデアルであることは同値。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

整域 $A$ の元の分数 $a/b$ （ $b\neq0$ ）全体がなす体。 $\operatorname{Frac}A$ と書く。例： $\mathbb{Z}$ の商体は $\mathbb{Q}$ 、 $k[x]$ の商体は有理関数体 $k(x)$ 。

既約な閉集合 $Z$ に対して、閉包がちょうど $Z$ になる点を $Z$ の生成点と呼ぶ。 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ では、素イデアル $(0)$ に対応する点が平面全体の生成点になる。

定数でなく、定数でない2つの多項式の積に分解できない多項式。例： $\mathbb{R}[x]$ の $x^2+1$ 。 $\mathbb{C}[x]$ では $(x+i)(x-i)$ と分解するので既約ではない。

参考文献

R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 1』, 丸善出版, 2013.
M. F. アティヤ, I. G. マクドナルド（新妻弘訳）, 『可換代数入門』, 共立出版, 2006.